Ciljevi predmeta
Upoznavanje standardnih tehnika linearne algebre i osnove strukture vektorskih prostora (baza, dimenzija, potprostori). Prepoznavanje strukture vektorskog prostora u nekim primjerima obrađenim na kolegiju Analitička geometrija.
Ishodi učenja na razini programa kojima predmet pridonosi
3. Definirati, objasniti i primijeniti osnovne pojmove i rezultate elementarne matematike, diferencijalnog i integralnog računa realnih funkcija jedne i više realnih varijabli, linearne algebre i matričnih dekompozicija te vjerojatnosti i statistike.
ishodi učenja na razini predmeta
1) Klasificirati i prepoznati osnovne algebarske strukture (grupa, prsten, polje).
2) Ispitati svojstva vektorskog prostora i ustanoviti svojstva linearne nezavisnosti podskupa, sustava izvodnica vektorskog prostora
i baze vektorskog prostora.
3) Konstruirati bazu te odrediti dimenziju vektorskog prostora, njegovog potprostora, presjeka i sume potprostora i direktnog
komplementa potprostora.
4) Prikazati vektor u bazi vektorskog prostora i izvoditi operacije primjenom prikaza u bazi.
5) Izvoditi algebarske operacije s matricama i elementarne transformacije matrica.
6) Izračunati rang matrice, inverz regularne matrice i determinantu kvadratne matrice.
7) Povezati invertibilnost kvadratne matrice s njezinim rangom i determinantom.
8) Analizirati rješivost sustava linearnih jednadžbi, riješiti sustav te opisati strukturu skupa rješenja.
Opis sadržaja predmeta
1) Uvod i motivacija za pojam vektora i vektorskog prostora (povezivanje sa sustavima linearnih jednadžbi do 3 nepoznanice i analitičkom geometrijom). Binarna operacija. Grupoid. Osnovne algebarske strukture. Grupa i Abelova grupa. Osnovna svojstva grupe. Primjeri. Simetrična grupa.
2) Prsten, osnovna svojstva i primjeri. Polje, osnovna svojstva i primjeri. Definicija vektorskog prostora. Osnovna svojstva i primjeri. Linearna kombinacija.
3) Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Konačnogenerirani vektorski prostor. Linearno nezavisan skup.
4) Baza vektorskog prostora. Jednoznačnost prikaza u bazi. Redukcija konačnog sustava izvodnica do baze. Relacija brojnosti linearno nezavisnog skupa i sustava izvodnica u konačnogeneriranom prostoru. Jednakobrojnost baza. Dimenzija vektorskog prostora. Konačnodimenzionalni vektorski prostor. Proširenje linearno nezavisnog podskupa do baze konačnodimenzionalnog prostora.
5-6) Potprostor vektorskog prostora. Kriterij za potprostor (zatvorenost na linearne kombinacije). Presjek i suma potprostora, direktna suma. Dimenzije presjeka sume za konačnodimenzionalne potprostore. Direktni komplement. Primjeri rastava u direktnu sumu potprostora. Projekcija na potprostor u smjeru direktnog komplementa.
7) Definicija matrice, osnovni pojmovi i oznake. Neki posebni tipovi matrica. Operacije zbrajanja matrica i množenja matrica skalarom. Vektorski prostor Mm,n(F). Množenje matrica. Algebra Mn(F).
8) Inverzna matrica. Opća linearna grupa GLn(F). Elementarne operacije nad retcima i stupcima. Ekvivalentnost matrica. Elementarne matrice. Rang matrice. Kanonski oblik matrice.
9) Daljnja svojstva ranga matrice. Karakterizacija regularnosti kvadratne matrice pomoću ranga. Određivanje inverzne matrice elementarnim operacijama. Ortogonalne matrice.
10) Pojam sustava linearnih jednadžbi, rješenje sustava i rješivost sustava. Matrični zapis sustava. Nužan i dovoljan uvjet rješivosti - Teorem Kronecker-Capellija. Uvjet jedinstvenosti rješenja sustava.
11-12) Homogeni sustav. Prostor rješenja homogenog sustava. Prikaz općeg rješenja nehomogenog sustava. Gaussova metoda rješavanja sustava. Struktura skupa rješenja, dimenzija prostora rješenja pridruženog homogenog sustava. Linearna mnogostrukost.
13) Uvod u pojam determinante. Predznak permutacije. Definicija determinante. Osnovna svojstva determinante.
14) Daljnja svojstva permutacija s obzirom na predznak. Svojstva determinante u odnosu na elementarne operacije na retcima i stupcima. Karakterizacija regularnosti matrice pomoću determinante.
15) Binet-Cauchyjev teorem. Laplaceov razvoj. Formula za inverznu matricu. Cramerov sustav.
|
Pristupačnost
