1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja na poslijediplomskim studijima	60

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA: U prvom dijelu kolegija (zimski semestar, 30 sati) obradit ćemo osnove teorije specijalnih divergentnih formalnih redova potencija (s koeficijentima koji prebrzo rastu da bi bili konvergentni) koji su, unatoč tome, u nekom smislu kanonski 'sumabilni' na sektorima, te je njihova 'suma' analitička funkcija. Kako se divergentni redovi prirodno pojavljuju (zapravo i puno češće od konvergentnih) kao rješenja stvarnih modela diferencijalnih / diferencijskih jednadžbi (primjeri uključuju Eulerovu jednadžbu, Airy jednadžbu), takve tehnike sumiranja nalaze važnu primjenu u matematici i fizici.
Uvest ćemo algebru Gevrey sumabilnih redova (divergentni redovi potencija čiji koeficijenti rastu najviše faktorijelno brzo) i odgovarajuću algebru funkcija dobivenih njihovom formalnom Borelovom integralnom transformacijom. Te funkcije, uz ograničenje rasta u beskonačnosti, posjeduju konačno mnogo takozvanih Stokesovih singularnih smjerova. Pokazat ćemo kako, usmjerenom Laplaceovom transformacijom (inverzna Borelovoj) u svim smjerovima osim Stokesovih, rekonstruiramo analitičke funkcije na sektorima čiji se asimptotski razvoj podudara s početnim redom potencija. Ta tehnika se naziva Borel-Laplaceovom tehnikom resumacije. Nadalje, uvest ćemo podalgebru tzv. jednostavnih resurgentnih funkcija, koje dopuštaju samo određenu, jednostavniju vrstu singulariteta tipa pol-logaritam duž singularnih smjerova, i za koje analiza singulariteta u Borelovoj ravnini predstavlja važan alat za analizu svojstava početnog formalnog reda i modela iz kojeg dolazi. Na kraju ćemo pokazati neke važne primjene u rješavanju diferencijalnih i diferencijskih jednadžbi (Eulerova jednadžba) i u nekim problemima iz dinamičkih sustava (problem analitičke klasifikacije za difeomorfizme).

U drugom dijelu kolegija (ljetni semestar, 30 sati) bit će proučavani čudni atraktori u ravnini s naglaskom na henonovske i lozijevske atraktore, njihove homokliničke točke i homokliničke tangente.
Najveći problem u proučavanju henonovskih i lozijevskih preslikavanja je što ta preslikavanja nisu uniformno hiperbolična. Prezentirati ćemo neke alate za proučavanje familija preslikavanja koje nisu uniformno hiperbolične, uvest ćemo takozvane kritične točke za henonovska preslikavanja i pokazati metode za proučavanje skupova parametara.

NASTAVNI SADRŽAJI:
(zimski semestar, tjedni 1-15)
- Diferencijalna algebra formalnih Gevreyevih redova. Formalna Borelova transformacija. (2 tjedna)
- Konvolucija. (1 tjedan)
- Usmjerena Laplaceova transformacija i Borel-Laplaceova sektorijalna sumacija divergentnih formalnih redova. Najjednostavniji primjer: analiza Eulerove jednadžbe. (3 tjedan)
- Algebra resurgentnih formalnih redova i resurgentnih funkcija. (3 tjedna)
- Analiza resurgentnih singulariteta u Borelovoj ravnini. Čudna derivacija i Stokesov automorfizam. (3 tjedna)
- Neke primjene resurgencija: Airy jednadžba i analitička klasifikacija paraboličkih difeomorfizama. (3 tjedna)

(ljetni semestar, tjedni 16-30)
- Lozijeva preslikavanja: opća svojstva i rezultati (2 tjedna)
- Henonova preslikavanja: opća svojstva i rezultati (2 tjedna)
- Smjerovi kontrakcije (2 tjedna)
- Kritične točke (3 tjedna)
- Geometrija nestabilne mnogostrukosti (3 tjedna)
- Ovisnost o parametrima (3 tjedna)

1. C. Mitschi, D. Sauzin: Divergent series, Summability and resurgence. I. Monodromy and resurgence. Lecture notes in Mathematics
2. B. Candelpergher: Une introduction a la resurgence
3. D. Sauzin: Resurgent functions and splitting problems
4. Qiudong Wang, Lai-Sang Young: Strange Attractors with One Direction of Instability
5. Leonardo Mora, Marcelo Viana: Abundance of Strange Attractors
6. Michael Benedicks, Lennart Carleson: The Dynamics of the Henon map

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika