1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja na poslijediplomskim studijima	60

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA:
Cilj kolegija je upoznati studente s tzv. tehnikom Bellmanovih funkcija, posebice kroz brojne primjere iz matematičke analize i teorije vjerojatnosti. Obradit će se veći dijelovi knjiga [1] i [2]. Preciznije, knjiga [1] će se koristiti za upoznavanje s osnovnom idejom, primjerima iz analize (npr. teoremi ulaganja, ocjene integralnih operatora) i trikovima za traženje Bellmanovih funkcija, dok će knjiga [2] komplementirati gradivo primjerima iz vjerojatnosti (npr. ocjene martingala). Matematičar koji ovlada ovom tehnikom znat će metodično pristupiti mnogim tipovima problema te može steći ogromnu prednost u rješavanju problema naspram većine znanstvenika koji metodu i dalje smatraju "mističnom" ili pak misle da se do rješenja dolazi pukim pogađanjem.

OPIS KOLEGIJA:
Tehnika koju ćemo proučavati je jedna vrlo korisna ideja u teorijskoj matematici. Dobila je ime po primijenjenom matematičaru Richardu E. Bellmanu, koji je na nju utjecao svojim radom iz dinamičkog programiranja i stohastičkog optimalnog upravljanja. U teoriji vjerojatnosti ideju je prvi upotrijebio Donald L. Burkholder u 1980-im godinama pa se ona nekad zove i Burkholderova metoda. Metoda je primijenjena u matematičkoj analizi i dalje razvijena u sustavnu teoriju od strane Fedora L. Nazarova, Sergeia. R. Treila i Alexandera L. Volberga u čitavoj seriji knjiga i radova od kraja 1990-ih godina do danas. Isti su ljudi i skovali termin metoda Bellmanovih funkcija. Ona se koristi za dokazivanje/opovrgavanje i pojačavanje mnogih klasičnih i novih rezultata u vjerojatnosti, analizi, parcijalnim diferencijalnim jednadžbama i drugdje te je danas jedna od najpoznatijih, najoriginalnijih i najspektakularnijih tehnika.
Evo vrlo grubog prikaza metode.
1. Odaberite problem s unutrašnjom samo-sličnosti.
2. Svedite problem na ograničavanje "invarijantne" veličine.
3. Napišite nejednadžbu za gornju invarijantnu veličinu koristeći samo-sličnost problema.
4. Radite unatrag: ograničite invarijantnu veličinu pod pretpostavkom da već imamo neko rješenje nejednadžbe.
5. Pronadite neko rješenje nejednadžbe.
Čitatelju će gornja shema dobiti smisao tek nakon što se upozna s konkretnim primjerima. Npr. ovako generalno nije jasno na kakvu samo-sličnost mislimo, je li nejednadžba algebarska ili diferencijalna, kakva rješenja tražimo, itd. Upravo zbog općenitosti ovakva shema je primjenjiva u neslućeno mnogo raznolikih situacija.

NASTAVNI SADRŽAJI:
1. Uvodni primjeri. Primjeri egzaktnih Bellmanovih funkcija. (12 sati)
2. Veze sa stohastičkim optimalnim upravljanjem. (12 sati)
3. Dijadski modeli. Martingalne nejednakosti u diskretnom vremenu. (12 sati)
4. Ocjene singularnih integrala. (12 sati)
5. Maksimalne ocjene. Ocjene kvadratnih funkcija. (12 sati)

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika

Napredni kolegiji - Redovni Studij - Matematika