1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	60
Auditorne vježbe	45

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA:
Upoznavanje standardnih tehnika linearne algebre (operacije s matricama i vektorima, rješavanje sustava linearnih jednadžbi, primjene determinante) i osnova strukture vektorskih prostora (baza, dimenzija, potprostori). Prepoznavanje strukture vektorskog prostora u nekim primjerima obrađenim na kolegiju Analitička geometrija.

NASTAVNI SADRŽAJI:

I. Vektorski prostori
I.1. Uvod i motivacija za pojam vektora i vektorskog prostora (povezivanje sa sustavima linearnih jednadžbi do 3 nepoznanice i analitičkom geometrijom)
I.2. Osnovne algebarske strukture. Binarna operacija. Grupoid. Grupa i Abelova grupa. Osnovna svojstva grupe i primjeri. Simetrična grupa. Prsten, osnovna svojstva i primjeri. Polje, osnovna svojstva i primjeri.
I.3. Definicija vektorskog prostora. Osnovna svojstva i primjeri. Linearna kombinacija.
I.4. Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Konačnogenerirani vektorski prostor. Linearno nezavisan skup.
I.5. Baza vektorskog prostora. Jednoznačnost prikaza u bazi. Redukcija konačnog sustava izvodnica do baze. Relacija brojnosti linearno nezavisnog skupa i sustava izvodnica u konačnogeneriranom prostoru. Jednakobrojnost baza. Dimenzija vektorskog prostora. Konačnodimenzionalni vektorski prostor. Proširenje linearno nezavisnog podskupa do baze konačnodimenzionalnog prostora.
I.6. Potprostor vektorskog prostora. Kriterij za potprostor. Presjek i suma potprostora, direktna suma. Dimenzije presjeka sume za konačnodimenzionalne potprostore. Direktni komplement. Primjeri rastava u direktnu sumu potprostora. Projekcija na potprostor u smjeru direktnog komplementa.

II. Matrice
II.1. Definicija matrice, osnovni pojmovi i oznake. Neki posebni tipovi matrica. Operacije zbrajanja matrica i množenja matrica skalarom. Vektorski prostor Mm,n(F). Množenje matrica. Algebra Mn(F).
II.2. Inverzna matrica. Opća linearna grupa GLn(F). Elementarne operacije nad retcima i stupcima. Ekvivalentnost matrica. Elementarne matrice. Rang matrice. Kanonski oblik matrice.
II.3. Karakterizacija regularnosti kvadratne matrice pomoću ranga. Određivanje inverzne matrice elementarnim operacijama. Ortogonalne matrice.

III. Sustavi linearnih jednadžbi
III.1. Pojam sustava linearnih jednadžbi, rješenje sustava i rješivost sustava. Matrični zapis sustava. Nužan i dovoljan uvjet rješivosti - Teorem Kronecker-Capellija. Uvjet jedinstvenosti rješenja sustava.
III.2. Homogeni sustav. Prostor rješenja homogenog sustava. Prikaz općeg rješenja nehomogenog sustava. Gaussova metoda rješavanja sustava. Struktura skupa rješenja, dimenzija prostora rješenja pridruženog homogenog sustava. Linearna mnogostrukost.

IV. Determinante
IV.1. Uvod u pojam determinante. Predznak permutacije. Definicija determinante. Osnovna svojstva determinante.
IV.2. Svojstva determinante u odnosu na elementarne operacije na retcima i stupcima. Karakterizacija regularnosti matrice pomoću determinante.
IV.3. Binet-Cauchyjev teorem. Laplaceov razvoj. Formula za inverznu matricu. Cramerov sustav.

1. Linearna algebra, Z. Franušić, J. Šiftar, PMF, online izdanje, 2022.
2. Linearna algebra, Lj. Arambašić, Element, Zagreb, 2022.
3. Linearna algebra i primjene, D. Bakić, Školska knjiga, Zagreb, 2021.
4. Zbirka zadataka iz linearne algebre s rješenjima, N. Bakić, A. Milas, PMF - Matematički odsjek i Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb, 1995.

Upis predmeta :
Odslušan : Analitička geometrija

Polaganje predmeta :
Položen : Analitička geometrija

Obavezni predmet - Redovni Studij - Matematika i fizika; modul: nastavnički