CILJ KOLEGIJA: Proučavanje općenitih algebarskih struktura, grupa, prstena, modula,
algebri, polja te linearnih algebri.
NASTAVNI SADRŽAJI:
GRUPE, PRSTENI I MODULI
GRUPE:
Monoidi
Grupe
Normalne podgrupe
Djelovanja grupa
Sylowljeve podgrupe
Kategorije i funktori
Slobodne grupe
Direktne sume i slobodne Abelove grupe
Konačno generirane Abelove grupe
Dualna grupa
PRSTENI:
Prsteni i homomorfizmi
Komutativni prsteni
Lokalizacija
Prsteni glavnih ideala
Spektar prstena
MODULI:
Osnovne definicije
Grupa homomorfizama
Direktni produkti i direktne sume modula
Slobodni moduli
Vektorski prostori
Dualni prostori
Projektivni i injektivni moduli
Direktni i inverzni limesi
HOMOLOŠKA ALGEBRA:
Kompleksi
Homologija
POLINOMI:
Slobodne algebre
Definicija polinoma
Osnovna svojstva polinoma
Euklidov algoritam
Parcijalni razlomci
Jedinstvena faktorizacija u prstenima polinoma u više varijabli
Kriteriji ireducibilnosti
Derivacija i višestruki korijeni
Simetrični polinomi
Prsteni formalnih redova
NOETHERINI PRSTENI I MODULI:
Osnovni kriterij
Hilbertov teorem
Noetherinost prstena formalnih redova
Primarna dekompozicija
Nakayamina lema
Filtrirani i graduirani moduli
Hilbertov polinom
TEORIJA POLJA
ALGEBARSKA PROŠIRENJA:
Konačna i algebarska proširenja
Algebarsko zatvorenje
Polje razlaganja i normalna proširenja
Separabilna proširenja
Konačna polja
Primitivni elementi
GALOISOVA TEORIJA:
Galoisova proširenja
Primjeri
Korijeni jedinice
Linearna nezavisnost karaktera
Norma i trag
Ciklička proširenja
Rješiva proširenja i proširenja radikalima
PROŠIRENJA PRSTENA:
Cijela proširenja prstena
TRANSCEDENTNA PROŠIRENJA:
Baze transcedencije
Hilbertov teorem o nulama
Algebarski skupovi
Noetherin teorem o normalizaciji
Linearno razdjeljena proširenja
Separabilna proširenja
APSOLUTNE VRIJEDNOSTI:
Definicije i osnovna svojstva
Popunjenja
LINEARNA ALGEBRA I TEORIJA REPREZENTACIJA
MATRICE I LINEARNA PRESLIKAVANJA:
Matrice
Rang Matrice
Matrice i linearna preslikavanja
Determinante
Dualnost
Matrice i bilinearne forme
Seskvilinearna dualnost
BILINEARNE FORME:
Ortogonalne sume
Kvadratna preslikavanja
Simetrične forme, ortogonalne baze
Alternirajuće forme
Hermitske forme
Spektralni teorem (hermitski slučaj)
Spektralni teorem (simetrični slučaj)
REPREZENTACIJA ENDOMORFIZMA
Reprezentacije algebri
Moduli nad prstenima glavnih ideala
Dekompozicija inducirana endomorfizmom
Svojstveni polinom
MULTILINEARNI PRODUKTI:
Tenzorski produkt
Osnovna svojstva
Proširenje polja
Neki funktorijalni izomorfizmi
Tenzorski produkt algebri
Tenzorska algebra modula
Simetrični produkti
Vanjski produkti
POLUPROSTA:
Matrice i linearna preslikavanja nad nekomutativnim prstenima
Definicija poluprostote
Teorem gustoće
Poluprosti prsteni
Prosti prsteni
|
Pristupačnost
