1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	60
Auditorne vježbe	45

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA: Ovaj kolegij obuhvaća standardne tehnike linearne algebre i osnove strukture vektorskih prostora (baza, dimenzija, potprostori). Sadržaj kolegija izložen je po tjednima. To znači da navedeni blokovi okvirno podrazumijevaju po 3 sata predavanja s pripadajućim vježbama.

NASTAVNI SADRŽAJI:

I. VEKTORSKI PROSTORI
1. Uvod i motivacija za pojam vektora i vektorskog prostora (povezivanje sa sustavima linearnih jednadžbi do 3 nepoznanice i analitičkom geometrijom). Binarna operacija. Grupoid. Osnovne algebarske strukture. Grupa i Abelova grupa. Osnovna svojstva grupe. Primjeri. Simetrična grupa.
2. Prsten, osnovna svojstva i primjeri. Polje, osnovna svojstva i primjeri. Definicija vektorskog prostora. Osnovna svojstva i primjeri. Linearna kombinacija.
3. Linearna ljuska. Sustav izvodnica. Konačnogenerirani vektorski prostor. Linearno nezavisan skup. Baza vektorskog prostora. Jednoznačnost prikaza u bazi. Redukcija konačnog sustava izvodnica do baze. Relacija brojnosti linearno nezavisnog skupa i sustava izvodnica u konačnogeneriranom prostoru. Jednakobrojnost baza. Dimenzija vektorskog prostora. Konačnodimenzionalni vektorski prostor. Proširenje linearno nezavisnog podskupa do baze konačnodimenzionalnog prostora.
4. Potprostor vektorskog prostora. Kriterij za potprostor (zatvorenost na linearne kombinacije). Presjek i suma potprostora, direktna suma. Dimenzije presjeka sume za konačnodimenzionalne potprostore. Direktni komplement. Primjeri rastava u direktnu sumu potprostora. Projekcija na potprostor u smjeru direktnog komplementa.

II. MATRICE
1. Definicija matrice, osnovni pojmovi i oznake. Neki posebni tipovi matrica. Operacije zbrajanja matrica i množenja matrica skalarom. Vektorski prostorMm,n(F). Množenje matrica. Algebra Mn(F).
2. Inverzna matrica. Opća linearna grupa GLn(F). Elementarne operacije nad retcima i stupcima. Ekvivalentnost matrica. Elementarne matrice. Rang matrice. Kanonski oblik matrice.
3. Daljnja svojstva ranga matrice. Karakterizacija regularnosti kvadratne matrice pomoću ranga. Određivanje inverzne matrice elementarnim operacijama. Ortogonalne matrice.

III. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI
1. Pojam sustava linearnih jednadžbi, rješenje sustava i rješivost sustava. Matrični zapis sustava. Nužan i dovoljan uvjet rješivosti - Teorem Kronecker-Capellija. Uvjet jedinstvenosti rješenja sustava.
2. Homogeni sustav. Prostor rješenja homogenog sustava. Prikaz općeg rješenja nehomogenog sustava. Gaussova metoda rješavanja sustava. Struktura skupa rješenja, dimenzija prostora rješenja pridruženog homogenog sustava. Linearna mnogostrukost.

IV. DETERMINANTE
1. Uvod u pojam determinante. Predznak permutacije. Definicija determinante. Osnovna svojstva determinante. Daljnja svojstva permutacija s obzirom na predznak. Svojstva determinante u odnosu na elementarne operacije na retcima i stupcima. Karakterizacija regularnosti matrice pomoću determinante.
2. Binet-Cauchyjev teorem. Laplaceov razvoj. Formula za inverznu matricu. Cramerov sustav.

1. Linearna algebra 1, skripte dostupne na https://web.math.pmf.unizg.hr/~fran/predavanja-LA1.pdf, Z. Franušić, J. Šiftar.
2. Linearna algebra, D. Bakić, Školska knjiga, Zagreb, 2008.
3. Zbirka zadataka iz linearne algebre, N. Bakić, A. Milas, PMF - Matematički odjel, Zagreb, 1996.
4. Linearna algebra, K. Horvatić, Golden marketing - Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.
5. Linear algebra and its applications, G. Strang, Saunders College Publ, 1986.

Upis predmeta :
Odslušan : Analitička geometrija

Polaganje predmeta :
Položen : Analitička geometrija