1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	45
Auditorne vježbe	45

* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)

CILJ KOLEGIJA: Glavni cilj ovog kolegija je ''premostiti'' prazninu između nivoa srednjoškolske matematike i tzv. fakultetske matematike. Studenti će se upoznati s osnovama matematičkog jezika i mišljenja te sistematizirati i produbiti već stečeno znanje o skupovima (brojeva), relacijama i funkcijama. Drugi cilj je detaljno ponoviti polinome (jedne i više varijabli) i racionalne funkcije te uvesti neke nove pojmove vezane uz njih (tzv. algebarski pristup). Posebna pažnja bit će posvećena jednadžbama i nejednadžbama. Bit će dan sustavan i detaljan pregled algebarskih jednadžbi (i trećeg i četvrtog stupnja), racionalnih i tzv. iracionalnih (ne)jednadžbi, jednadžbi i nejednadžbi s apsolutnim vrijednostima, eksponencijalnih i logaritamskih, te trigonometrijskih (ne)jednadžbi.

NASTAVNI SADRŽAJI:
Prema nastavnim tjednima, raspored sadržaja je sljedeći:
1. Uvod. Kratki pregled povijesnog razvoja matematike i osnovnih matematičkih disciplina. Grčki alfabet. Osnove logike sudova. Sudovi. Logički veznici i složeni sudovi. Tautologija. Nužan i dovoljan uvjet. Obrat suda. Obrat po kontrapoziciji. Suprotni sud. Negacija implikacije.
2. Predikati i kvantifikatori. Predikati. Univerzalni i egzistencijalni kvantifikator. Negacija kvantifikatora.
3. Oblici matematičkog mišljenja. Aksiomatska izgradnja matematičke teorije. Matematički pojam. Definicija pojma. Aksiom. Teorem i njegov obrat. Osnovna pravila izvoda. Osnovne vrste dokaza.
4. Skupovi. Pojam skupa. Podskup. Jednakost skupova. Univerzalni skup. Zadavanje skupova. Partitivni skup. Booleova algebra. Particija skupa. Kartezijev produkt skupova.
5. Osnovno o skupovima brojeva (oznake): prirodni, cijeli, racionalni, realni i kompleksni brojevi. Aksiom matematičke indukcije. Binomna formula.
6. Relacije. Pojam relacije. Parcijalni uređaj. Uređaj. Relacija ekvivalencije. Klase ekvivalencije. Kvocijentni skup. Primjeri relacija (djeljivost, kongruencije, neke relacije u geometriji) i njihova svojstva.
7. Funkcije. Pojam funkcije. Domena, kodomena i slika funkcije. Praslika. Graf funkcije. Jednakost funkcija. Restrikcija i proširenje funkcije.
8. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Permutacija skupa. Kompozicija funkcija. Inverzna funkcija.
9. Ekvipotentni skupovi. Pojam ekvipotentnih skupova. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Veza kardinalnih brojeva konačnih skupova sa skupovnim operacijama.
10. Polinomi u jednoj varijabli. Kvadratna funkcija. Prsten polinoma. Teorem o nul-polinomu. Teorem o jednakosti polinoma. Djeljivost polinoma. Hornerova shema. Najveća zajednička mjera polinoma.
11. Nultočke polinoma i algebarske jednadžbe (posebno trećeg i četvrtog stupnja). Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Moivreove formule.
12. Osnovni teorem algebre. Interpolacijski polinom. Cjelobrojni i racionalni korijeni algebarske jednadžbe. Kompleksni korijeni algebarske jednadžbe. Reducibilnost i ireducibilnost polinoma nad C i R. Vieteove formule.
13. Racionalne funkcije. Pojam racionalne funkcije. Rastav racionalne funkcije na parcijalne razlomke.
14. Polinomi dviju i više varijabli. Prsten polinoma dviju varijabli. Simetrični polinomi. Osnovni teorem o simetričnim polinomima dviju varijabli. Simetrične jednadžbe. Polinomi više varijabli.
Na vježbama bi se prvi tjedan radili primjeri direktno vezani uz predavanja, a sljedeća dva tjedna rješavale racionalne i tzv. iracionalne (ne)jednadžbe, jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima, eksponencijalne i logaritamske (ne)jednadžbe, te trigonometrijske (ne)jednadžbe. Nakon toga vježbe prate predavanja.

1. Elementarna matematika 1, B. Pavković, D. Veljan, Školska knjiga, Zagreb, 2003.
2. Polinomi, B. Pavković, B. Dakić, Školska knjiga, Zagreb, 1991.
3. Uvod u matematiku, S. Kurepa, Tehnička knjiga, Zagreb, 1984.
4. Schaum's Outline of Set Theory and Related Topics, S. Lipschutz, McGraw-Hill, New York, 1998.

Obavezni predmet - Redovni Studij - Matematika