Teorija skupova

Teorija skupova

Matematički odsjek

Obavijesti

Teorija skupova

Šifra: 33145
ECTS: 6.0
Nositelji: doc. dr. sc. Ozren Perše - Predavanja
prof. dr. sc. Mladen Vuković - Predavanja
Izvođači: Marko Horvat - Auditorne vježbe
Lucija Validžić - Auditorne vježbe
Prijava ispita: Studomat
Engleski jezik:

1,0,0

Nastava se odvija na hrvatskom jeziku u svim svojim elementima, a stranim studentima koji su pridruženi mješovitoj grupi nudi se mogućnost savladavanja predmeta pomoću dodatnih izravnih konzultacija s nastavnikom i asistentima na engleskom jeziku. Pri tome, nastavnik stranog studenta upućuje na odgovarajuću literaturu na engleskom jeziku te mu osigurava mogućnost polaganja predmeta na engleskom jeziku.
Opterećenje:

1. komponenta

Vrsta nastaveUkupno
Predavanja 30
Auditorne vježbe 30
* Opterećenje je izraženo u školskim satima (1 školski sat = 45 minuta)
Opis predmeta:
CILJ KOLEGIJA: U prvom dijelu kolegija osnovni cilj je sustavno obraditi pojmove kao što su prebrojivost i neprebrojivost, te pojmove vezane uz uređene skupove. Također, cilj je i motivirati uvođenje aksiomatskog pristupa. U drugom dijelu kolegija glavni cilj je u okviru aksiomatske teorije skupova (Zermelo-Fraenkelove teorije skupova, tj. ZF teorije) obraditi pojmove ordinalnog i kardinalnog broja, te naglasiti važnost aksioma izbora. Kao motivacija za definiciju ordinalnih brojeva daje se definicija prirodnih brojeva u ZF teoriji (a onda se definiraju i skupovi cijelih, racionalnih i realnih brojeva).

NASTAVNI SADRŽAJI:
I. Naivna teorija skupova
1. Uvod. Povijest. Princip ekstenzionalnosti. Princip komprehenzije. Russelov paradoks. Aksiom izbora. Ideja kumulativne hijerarhije. Aksiom praznog skupa i para. Uređeni par. Definicija relacije i funkcije. Aksiomi unije i partititvnog skupa.
2. Ekvipotentni skupovi. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi skupovi.
3. Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup (primjena aksioma izbora). Skup racionalnih brojeva je prebrojiv. Svaki beskonačni skup sadrži prebrojiv podskup (primjena aksioma izbora).
4. Neprebrojivi skupovi. Skup realnih brojeva je neprebrojiv. Kardinalni brojevi (naivni pristup). Osnovni Cantorov teorem teorije skupova. Aritmetika kardinalnih brojeva.
5. Knaster, Tarskijev teorem o fiksnoj točki. Cantor, Bernstein, Schröderov teorem.
6. Binarne relacije: refleksivne, irefleksivne, simetrične, antisimetrične i tranzitivne. Relacija ekvivalencije. Parcijalno uređeni skupovi. Usporedivi elementi, lanac, maksimalni i minimalni element, najveći i najmanji element, gornja međa, donja međa, supremum i infimum. Linearno uređeni skup. Funkcije koje čuvaju uređaj. Teorem o fiksnoj točki. Sličnost.
7. Gusti parcijalno uređeni skupovi. Rez. Neprekidnost u Dedekindovom smislu. Separabilnost. Uređajne karakteristike skupova Q i R.
8. Dobro uređeni skupovi. Osnovna svojstva dobro uređenih skupova. Princip transfinitne indukcije. Usporedivost dobro uređenih skupova. Aksiom dobre utemeljenosti.
II. Aksiomatska teorija skupova
9. Skup prirodnih brojeva: induktivan skup, prirodan broj, aksiom beskonačnosti, shema aksioma separacije. Aksiom matematičke indukcije. Tranzitivni skupovi. Osnovna svojstva. Svaki prirodan broj je tranzitivan skup. Uređaj među prirodnim brojevima. Dedekindov teorem rekurzije.
10. Uvođenje skupova brojeva: cijeli, racionalni i realni brojevi. Von Neumannova definicija ordinala.
11. Osnovna svojstva ordinalnih brojeva. Teorem enumeracije.
12. Uređaj na ordinalnim brojevima. Ordinalni brojevi prve i druge vrste. Teorem rekurzije. Zbrajanje i množenje ordinalnih brojeva. Teorem o oduzimanju. Teorem o dijeljenju s ostatkom.
13. Potenciranje ordinalnih brojeva. Teorem o logaritamskom algoritmu. Teorem o normalnoj formi za ordinalne brojeve. Cantorova normalna forma. Goodsteinov teorem.
14. Kardinalni brojevi. Aritmetičke operacije i uređaj na kardinalnim brojevima. Königov teorem. Nedostiživi kardinalni brojevi. Alefi. Shema aksioma zamjene.
15. Aksiom izbora. Kartezijev produkt. Russelov multiplikativni aksiom. Zornova lema. Hausdorffov princip maksimalnosti. Teichmüller - Tukeyova lema. Zermelov teorem. Hartogsov teorem. Dokaz jednostavnijih ekvivalencija. Banach, Tarskijev paradoks.

OBAVEZE STUDENATA TOKOM NASTAVE I NAČINI NJIHOVA IZVRŠAVANJA: Pohađanje predavanja i vježbi, izrada domaćih zadaća, polaganje dva kolokvija.

UVJETI ZA POTPIS: Prisustvo na 70% predavanja i vježbi, predaja rješenja za 70% domaćih zadaća, prolazna ocjena na svim kolokvijima.

NAČIN POLAGANJA ISPITA: Završni dio ispita polaže se u pismenom ili usmenom obliku. Konačna ocjena oblikuje se na osnovi uspjeha u izradi domaćih zadaća, ocjena dobivenih na kolokvijima, te ocjene odgovora na završnom dijelu ispita.
Literatura:
Preduvjeti za:
Upis predmeta :
Položen : Linearna algebra 2
Položen : Matematička analiza 2
5. semestar
Obavezni predmet - Redovni studij - Matematika
Termini konzultacija:

Repozitorij

Repozitorij je prazan

Anketa

Na ovoj stranici trenutno nije odabrana niti jedna anketa!