1. komponenta

Vrsta nastave	Ukupno
Predavanja	60
Auditorne vježbe	45

CILJ KOLEGIJA: Cilj kolegija je studente upoznati s elementima teorije linearnih operatora na konačnodimenzionalnom vektorskom (unitarnom) prostoru.

NASTAVNI SADRŽAJ:
1. Linearni operatori. Definicija i osnovna svojstva linearnih operatora. Primjeri linearnih operatora na R^2 i R^3. Zadavanje linearnog operatora djelovanjem na bazi. Prostor linearnih operatora L(V,W). Baza i dimenzija za L(V,W). Dualni prostor. Dualna baza. Linearni funkcionali na Rn . Jezgra i slika linearnog operatora. Rang i defekt operatora. Monomorfizmi, epimorfizmi i izomorfizmi. Izomorfni prostori. Teorem o rangu i defektu. Matrični zapis vektora i linearnog operatora. Rekonstrukcija operatora iz matričnog zapisa. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora i inverza. Matrični prikazi u raznim bazama. Matrica prijelaza. Rang operatora i pripadne matrice. Primjeri.
2. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Definicija svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora. Primjeri (rotacija i zrcaljenje po pravcu u ravnini, ortogonalna
rojekcija, operator deriviranja). Pojam dijagonalizabilnosti linearnog operatora. Karakteristični polinom matrice i linearnog operatora. Spektar linearnog operatora. Gornjotrokutasti matrični prikaz linearnog operatora (Schurov teorem). Dijagonalizacija linearnog operatora. Svojstveni potprostor. Geometrijska i algebarska kratnost svojstvene vrijednosti. Karakterizacija dijagonalizabilnosti linearnog operatora na kompleksnom i na realnom vektorskom prostoru. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice. Dijagonalizacija matrice. HamiltonCayleyjev teorem. Primjeri. Primjena u pretraživanju interneta. Kompleksne nultočke karakterističnog polinoma realne matrice
3. Unitarni prostori. Primjeri. Cauchy - Schwarzova nejednakost. Norma. Ortonormirana baza. Gram - Schmidtova ortogonalizacija. Ortogonalni komplement. Ortogonalni projektor. QR faktorizacija.
4. Linearni operatori na unitarnim prostorima. Linearni funkcionali na unitarnim prostorima. Rieszov teorem o reprezentaciji linearnih funkcionala. Hermitski adjungirani operator. Matrice operatora A i A* u ortonormiranoj bazi. Problemi aproksimacije. Rješenje u smislu najmanjih kvadrata. Unitarni operatori. Karakterizacije unitarnog operatora i primjeri. Unitarni operator na R^2. Dijagonalizacija linearnog operatora u ortonormiranoj bazi. Hermitski operator i njegova svojstva. Normalni operator i njegova svojstva. Spektralni teorem na kompleksnim unitarnim prostorima. Spektralni teorem na realnim unitarnim prostorima. Polarna forma i dekompozicija singularnim vrijednostima. Krivulje drugog reda i kvadratne forme.

1. Linearna algebra, Lj. Arambašić, Linearna algebra, 2022.
2. Linear algebra done right, S. Axler, Springer-Verlag, New York, 1997.
3. Linearna algebra, D. Bakić, Školska knjiga, 2008.
4. Linear algebra and its applications, D. Lay, S. Lay, J. McDonald, Pearson, 2016.
5. Linear algebra, a modern introduction, D. Poole, Brooks/Cole, 2011.
6. Linear algebra and its applications, G. Strang, Saunders College Publ, 1986.

Upis predmeta :
Odslušan : Linearna algebra 1

Polaganje predmeta :
Položen : Linearna algebra 1

Obavezni predmet - Redovni Studij - Matematika