CILJ KOLEGIJA: Kolegij u svom prvom dijelu obuhvaća temu unitarnih prostora, a preostali, opsežnmiji dio u potpunosti je posvećen linearnim operatorima. Pristup pomoću linearnih operatora omogućuje produbljivanje i povezivanje sadržaja prethodno upoznatih u Linearnoj algebri 1 (struktura vektorskih prostora, matrice, sustavi linearnih jednadžbi) te različite geometrijske i algebarske primjene.
NASTAVNI SADRŽAJI:
I. UNITARNI PROSTORI
I.1. Definicija unitarnog prostora (nad poljima R i C). Osnovna svojstva. Primjeri, posebno V2(O) i V3(O). Cauchy-Schwarzova nejednakost. Gramova matrica i determinanta. Relacija ortogonalnosti vektora. Ortogonalni skup. Potprostor vektora ortogonalnih na podskup.
I.2. Norma i normirani prostor. Osnovna svojstva norme i primjeri. Ortonormirani skup. Norma inducirana skalarnim množenjem. Relacija paralelograma. Metrika i metrički prostor. Metrika inducirana normom.
I.3. Ortonormirana baza unitarnog prostora. Izražavanje skalarnog produkta, norme i metrike u ortonormiranoj bazi. Ortogonalna projekcija na smjer zadanog vektora. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. Ortogonalni komplement potprostora konačnodimenzionalnog unitarnog prostora. Ortogonalna projekcija na potprostor. Udaljenost vektora od potprostora. Metoda najmanjih kvadrata.
II. LINEARNI OPERATORI
II.1. Definicija linearnog operatora. Osnovna svojstva. Primjeri, posebno na V2(O) i V3(O). Kompozicija linearnih operatora i inverz bijektivnog linearnog operatora.
II.2. Zadanost linearnog operatora na konačnodimenzionalnom prostoru djelovanjem na bazu. Matrični zapis linearnog operatora u paru baza. Matrični zapis djelovanja na vektor. Rekonstrukcija linearnog operatora iz matričnog zapisa. Matrični zapis važnijih primjera linearnih operatora.
II.3. Djelovanje linearnog operatora u odnosu na potprostore. Jezgra i slika linearnog operatora. Rang i defekt. Karakterizacija injektivnosti pomoću jezgre. Monomorfizam, epimorfizam i izomorfizam. Karakterizacija preko djelovanja na linearno nezavisne podskupove, na sustave izvodnica i na baze vektorskog prostora. Teorem o rangu i defektu linearnog operatora. Posljedice teorema o rangu i defektu. Interpretacija sustava linearnih jednadžbi pomoću linearnog operatora. Izomorfni vektorski prostori. Karakterizacija izomorfnosti pomoću dimenzije u konačnodimenzionalnom slučaju.
II.4. Prostor linearnih operatora L(V,W). Algebra linearnih operatora L(V). Izomorfizam s prostorom matrica Mm,n(F), odnosno s matričnom algebrom Mn(F). Grupa GL(V). Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora.
II.5. Linearni funkcionali. Dualni prostor vektorskog prostora. Dualna baza. Opis linearnih funkcionala na konačnodimenzionalnom unitarnom prostoru pomoću skalarnog množenja.
II.6. Matrični prikazi linearnog operatora u različitim parovima baza. Rang linearnog operatora i njegovog matričnog prikaza. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. Slične matrice. Neke invarijante sličnosti (rang, determinanta, trag).
II.7 . Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori linearnog operatora. Primjeri. Svojstveni potprostor. Spektar linearnog operatora. Svojstveni polinom i njegove nultočke. Algebarska i geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti. Dijagonalizacija linearnog operatora. Nužni i dovoljni uvjeti za dijagonalizaciju.
II.8. Operatorski polinomi. Hamilton-Cayleyev teorem. Invarijantni potprostori. Adjungirani operator (sve sažeto/informativno)
II.9. Linearni operatori na unitarnom prostoru. Unitarni operatori. Osnovna svojstva i primjeri unitarnih operatora. Spektar unitarnog operatora. Matrični prikaz unitarnog operatora u ortonormiranoj bazi. Klasifikacija unitarnih operatora na prostorima V2(O) i V3(O). Simetrični i hermitski operatori. Spektar i dijagonalizacija simetričnih i hermitskih operatora.
II.10. Neke primjene linearnih operatora: Kvadratne forme, krivulje i plohe 2. reda. Pozitivno definitne i semidefinitne simetrične matrice. Točke ekstrema kvadratnih polinoma u n varijabli. Sustavi rekurzivnih jednadžbi.
|
Pristupačnost
